Ein Durchbruch in der Mathematik: Das Unschärfeprinzip für Fraktale

Vor etwa zehn Jahren untersuchte Semyon Dyatlov, ein Mathematiker am Massachusetts Institute of Technology (MIT), ob sich Quantenteilchen in chaotischen Situationen anders verhalten als normale Teilchen. Manchmal kann ein Objekt, das sich chaotisch bewegt, in eine fraktalartige Bahn geraten und dort für immer gefangen bleiben. Können Quantenteilchen das auch? Quantenteilchen breiten sich normalerweise wie Wellen aus, was ihre genaue Position verschwimmen lässt. Um herauszufinden, ob Quantenteilchen zu stark verschwimmen, um solche komplizierten Bahnen zu nehmen, brauchte Dyatlov ein neues Unschärfeprinzip – eines, das mit Fraktalen umgehen kann.

Im Jahr 2016 bewies Dyatlov zusammen mit Jean Bourgain, einem berühmten Mathematiker, der kurz nach dieser Arbeit starb, das fraktale Unschärfeprinzip für eindimensionale Fraktale. Diese sehen aus wie gezackte Linien. Solche Linien können die Bahnen von Objekten darstellen, die sich in zwei Dimensionen bewegen, zum Beispiel Bälle auf einem Billardtisch. Im Herbst desselben Jahres organisierten Dyatlov und Bourgain einen Workshop in New Jersey. Sie luden Mathematiker aus der ganzen Welt ein. Ihr Ziel war es, den Beweis auf höhere Dimensionen auszuweiten. Ein erweiterter Beweis könnte helfen, die dreidimensionale Welt zu untersuchen. Er wäre auch ein universelles mathematisches Werkzeug.

Aber die Aufgabe war zu schwer. Am Ende des Workshops glaubte niemand mehr, dass es möglich wäre, sagte Frédéric Naud, ein Mathematiker der Sorbonne-Universität, der an dem Workshop teilnahm.

Erst Jahre später gelang Alex Cohen der Durchbruch. Er war damals Doktorand am MIT. In einem Artikel, der 2025 in den Annals of Mathematics veröffentlicht wurde – einer der angesehensten Fachzeitschriften – erweiterte er das fraktale Unschärfeprinzip auf alle höheren Dimensionen. Das Ergebnis wurde Cohens Doktorarbeit. Mit 25 Jahren bekam er eine Assistenzprofessur an der New York University.

Das fraktale Unschärfeprinzip ist ein „grundlegendes Ergebnis“, sagte Peter Sarnak vom Institute for Advanced Study. Es sei „eine bemerkenswerte Leistung für einen Mann in seiner Doktorarbeit“. Dieses Prinzip hat bereits eine neue tiefe Art gezeigt, wie sich Quantenteilchen von klassischen Teilchen unterscheiden.

Flipper-Zauberer

Obwohl das Unschärfeprinzip im Zusammenhang mit Teilchen seltsam erscheinen mag, taucht es auch in weniger mysteriösen Formen auf. Je kürzer ein Ton ist, desto unsicherer kannst du sein, aus welchen Tönen er besteht. Ein kurzer Radarimpuls kann ein U-Boot genau orten, aber es braucht ein längeres Signal, um zu bestimmen, wohin es sich bewegt.

Alle diese Unschärfeprinzipien, auch das Quantenprinzip, haben dieselbe mathematische Quelle. Dieses tiefere mathematische Unschärfeprinzip gilt allgemein für jede Funktion – oder grob gesagt für jede Kurve, egal wie unregelmäßig sie aussieht. Es stammt aus einer Gleichung, die im 19. Jahrhundert erfunden wurde: die Fourier-Transformation. Sie ist nach dem Franzosen Joseph Fourier benannt. Die Fourier-Transformation zerlegt jede Funktion in eine Menge einfacher Wellen, jede mit einer anderen Frequenz oder Tonhöhe. Wenn man diese einfachen Wellen addiert, erhält man wieder die ursprüngliche Funktion.

Das Unschärfeprinzip ist eingebaut. Eine einfache Sinuswelle, die sich unendlich im Raum ausbreitet, hat eine bestimmte Frequenz, also ist ihre Fourier-Transformation ein einzelner Spitzenwert. Aber der Schlag einer Snare-Trommel sieht wie ein Puls aus, wenn er durch die Luft reist. Seine Fourier-Transformation hat eine breite Verteilung von Frequenzen – ein Geräusch ohne erkennbare Tonhöhe.

Allgemein gilt: Je schmaler eine Funktion ist, desto breiter muss ihre Fourier-Transformation sein, und umgekehrt. Oder anders gesagt: Je sicherer du bist, wo eine Funktion im Raum ihren Höhepunkt hat, desto unsicherer kannst du über ihre Frequenz sein, also darüber, wie sie sich mit der Zeit ändert.

In der Quantenmechanik wird ein Teilchen mathematisch als Welle beschrieben, mit Spitzen an Orten, an denen es am wahrscheinlichsten zu finden ist. Die Fourier-Transformation dieser Welle beschreibt die Bewegung des Teilchens. Deshalb können Position und Impuls eines Quantenteilchens nicht gleichzeitig genau bekannt sein: Sie sind durch eine Fourier-Transformation verbunden.

Aber was passiert, wenn man die Fourier-Transformation einer Funktion nimmt, die wie ein Fraktal aussieht? Um die Frage zu verstehen, hilft es, sich eine einfache Art von Fraktal vorzustellen: Nimm eine Linie und teile sie in drei Segmente. Entferne das mittlere Segment. Wiederhole den Vorgang: Teile jedes verbleibende Segment in drei, entferne das mittlere, und so weiter. Das Ergebnis ist eine fraktale Menge, die Cantor-Menge genannt wird. Die Menge hat die Eigenschaft, dass sie porös ist – sie ist voller Löcher, wie ein Schwamm, auf jeder Skala.

Um zu verstehen, warum das Unschärfeprinzip für Fraktale wichtig ist, muss man sich überlegen, was passiert, wenn man eine Funktion auf einem Fraktal betrachtet. Eine Funktion, die nur auf einem Fraktal definiert ist, kann man sich als eine Art „eingeschränkte“ Funktion vorstellen. Das Unschärfeprinzip für Fraktale besagt, dass eine Funktion und ihre Fourier-Transformation nicht beide gleichzeitig auf einem Fraktal konzentriert sein können. Genauer gesagt: Wenn eine Funktion auf einem Fraktal konzentriert ist, dann kann ihre Fourier-Transformation nicht auch auf einem Fraktal konzentriert sein, es sei denn, das Fraktal ist sehr groß.

Diese Idee hat wichtige Anwendungen. Zum Beispiel kann sie helfen, das Verhalten von Wellen in chaotischen Systemen zu verstehen. In der Quantenchaos-Forschung geht es darum, wie sich Quantenteilchen in Systemen verhalten, die klassisch chaotisch sind. Das fraktale Unschärfeprinzip kann helfen, die sogenannten „Quantenresonanzen“ zu verstehen, die mit fraktalen Mengen zusammenhängen.

Ein weiteres Anwendungsgebiet ist die Theorie der „seltsamen Attraktoren“. Das sind Mengen, die entstehen, wenn ein chaotisches System auf lange Sicht betrachtet wird. Sie sind oft fraktal. Das Unschärfeprinzip für Fraktale kann helfen, die Eigenschaften dieser Attraktoren zu verstehen.

Dyatlov und Bourgain hatten die Idee, dass ein solches Prinzip existieren könnte, und sie bewiesen es für den eindimensionalen Fall. Aber der Beweis für höhere Dimensionen war schwierig. Cohen fand einen neuen Ansatz, der auf Arbeiten von Dyatlov und anderen aufbaute. Sein Beweis nutzt Methoden aus der harmonischen Analysis und der Geometrie.

Der Durchbruch von Cohen hat viele Mathematiker überrascht. „Es ist ein sehr schönes Ergebnis“, sagte Naud. „Es zeigt, dass die Mathematik manchmal unerwartete Lösungen findet.“

Das fraktale Unschärfeprinzip hat auch Verbindungen zu anderen Gebieten der Mathematik, wie der Zahlentheorie und der Theorie der dynamischen Systeme. Es könnte in Zukunft noch weitere Anwendungen finden.

Zusammenfassend lässt sich sagen: Das fraktale Unschärfeprinzip ist ein wichtiges neues Ergebnis in der Mathematik. Es erweitert das klassische Unschärfeprinzip auf Fraktale und hat viele Anwendungen. Der Beweis von Alex Cohen ist ein Meilenstein in der Forschung.

Der Artikel endet mit einem Hinweis auf die Bedeutung des Ergebnisses. Es zeigt, dass die Mathematik immer wieder neue und überraschende Verbindungen entdeckt. Das fraktale Unschärfeprinzip ist ein weiteres Beispiel dafür, wie tief die Mathematik in die Natur der Dinge blicken kann.